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L'analyse convexe est la branche des mathématiques qui étudie les ensembles et les fonctions convexes. Cette théorie étend sur beaucoup d'aspects les concepts de l'algèbre linéaire et sert de boîte à outils en analyse et en analyse non lisse. Elle s'est beaucoup développée du fait de ses interactions avec l'optimisation, où elle apporte des propriétés particulières aux problèmes qui y sont étudiés. Certains voient la naissance de l'analyse convexe « moderne » dans l'invention des notions de sous-différentiel, d'application proximale et d'inf-convolution dans les années 1962-63[1]. Il a fallu un certain temps pour que l'on reconnaisse que cette discipline apportait des idées nouvelles et des outils puissants[2].
Si l'Analyse convexe existe en tant que discipline des mathématiques, et pas l'« Analyse concave », c'est parce que l'on définit aisément la notion d'ensemble convexe, alors que celle d'« ensemble concave » est moins naturelle. On définit alors les fonctions convexes comme celles ayant un épigraphe convexe (les fonctions concaves ont un hypographe convexe…).
Cet article a pour but d'orienter le lecteur vers diverses pages traitant d'analyse convexe et de faire un tableau très succinct de la discipline.
- (en) P. L. Combettes, J.-B. Hiriat-Urruty, M. Thera (2014). Preface. Mathematical Programming, Ser. B, 148, 1-4.
- Citons R. T. Rockafellar : « We now take for granted that convex analysis is a good subject with worthwhile ideas, yet it was not always that way. There was actually a lot of resistance to it in the early days, from individuals who preferred a geometric presentation to one targeting concepts of analysis. Even on the practical plane, it’s fair to say that little respect was paid to convex analysis in numerical optimization until around 1990, say. » [1].